Il Teorema di Euclide: il triangolo rettangolo

Per dimostrare il teorema di Pitagora, studiato in geometria nella parte finale dell’anno, siamo partiti proprio dalla conoscenza del teorema di Euclide applicato su tutti e due i cateti di un triangolo rettangolo.

Euclide visse circa tra il IV e il III secolo a.C. in Grecia. Egli era un matematico e filosofo che si occupò di vari ambiti del sapere scientifico, approfondendo in particolare i suoi studi della geometria. Questo studioso scrisse un libro intitolato “Elementi” che raccoglieva il sapere matematico e geometrico.

Per dimostrare questo teorema dobbiamo servirci di un parallelogramma che, come vedremo, svolge una funzione di “intermediario”. Per costruirlo ci dobbiamo basare sui seguenti dati: uno dei suoi lati è il cateto del triangolo (che è anche la base del quadrato), e l’altro lato è lungo come l’ipotenusa del triangolo rettangolo. Anche dall’immagine possiamo osservare che il parallelogramma ha la stessa base e la stessa altezza del rettangolo (dato che anche l’altezza del rettangolo corrisponde all’ipotenusa). Quindi possiamo facilmente dedurre che parallelogramma e rettangolo siano equivalenti.

Possiamo anche notare che dato che il quadrato e il parallelogramma sono entrambi costruiti sullo stesso cateto, hanno la stessa base. Osservando meglio potremmo anche vedere che hanno la stessa altezza. Infatti, come si vede dal disegno, l’altezza che parte dal vertice Z relativa al lato DF è della stessa misura di quella del quadrato. Se quadrato e parallelogramma hanno la stessa base, ma anche la stessa altezza, sono equivalenti. Ma se il parallelogramma è equivalente sia al rettangolo che al quadrato, vuol dire che il quadrato e il rettangolo sono anch’essi equivalenti tra loro.

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sul cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione dello stesso cateto sull’ipotenusa.

Euclide si pose la seguente domanda: “Dato un rettangolo, è sempre possibile costruire il quadrato equivalente?”

A noi oggi, la risposta di questa domanda potrebbe sembrare scontata, ma all’epoca non lo era affatto dato che i greci non avevano una conoscenza approfondita dei numeri irrazionali, che in molti casi rappresentano la misura del lato del quadrato.

Per esempio, se l’area del rettangolo di partenza fosse di 12 cm² e noi volessimo costruire il quadrato equivalente, per trovare il suo lato dovremmo calcolare la radice quadrata di 12, che corrisponde a 3,46410161514… Si tratta di un numero irrazionale, ovvero un numero le cui cifre dopo la virgola sono infinite ma non si ripetono con una regolarità.

Con questo teorema Euclide dimostrò che, nonostante ciò, è sempre possibile trovare un quadrato equivalente al rettangolo di partenza, e che quindi si può costruire geometricamente un numero irrazionale.

Ecco un esempio della stessa costruzione con un triangolo ottusangolo. Possiamo fin da subito notare che, a differenza del caso precedente, il lato del quadrato non fa più parte del prolungamento del lato EF del triangolo, perché l’angolo del quadrato e quello del triangolo non sono più supplementari. Se proviamo quindi a costruire il parallelogramma come nel caso precedente, questo non sarà più equivalente al quadrato.

Con il triangolo acutangolo, allo stesso modo, l’angolo retto del quadrato e quello acuto del triangolo non potranno più essere supplementari, e quindi anche in questo caso il parallelogramma non sarà più equivalente al quadrato, facendo così “saltare” il passaggio fondamentale della dimostrazione di Euclide.

Conclusione: forse Euclide è meno famoso di Pitagora, ma il suo teorema è di sicuro altrettanto importante.